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K2さんの雑記


2017-01-01(Sun) [長年日記]

あけましておめでとうございます

本年もよろしくお願いします。

大晦日の娘との会話

うちの高一の娘との昨日の会話。

父:(Webでこのページのタイトルを見る。「【解答例】円周率は3.05より大きいことを証明せよ」。どうやら東大の入試の過去問らしい)

(机の前に娘がいたので)

父:円周率は3.05より大きいことを証明せよ。東大の入試問題らしい

娘:……内接する多角形を考えたらよいんじゃない?

父:『即答? こいつすごい』

娘:(六角形で考え出したらしい)。正三角形6つで、一辺を1とすると、多角形の周は6、直径は2だから円周率は3。

父:だめだったねぇ。もうちょっと細かくしなきゃいけないのでは?

娘:8角形だと……(紙と鉛筆を取り出す)。三角形の内角は……(何やら複雑な計算をし出す)

父:(それは多角形の内角和の計算?)

娘:180*(8-2)=???

父:いやいや、今は8角形を作っている三角形の中心角を出せばいいんだから、360を8で割ればよいのでは?

娘:そかそか。45度。内角45度で、一辺を1とする……

娘:(紙に、三角形ABCと各辺をabcの図を描き、c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosCと書く)

父:それ正弦定理だっけ?

娘:余弦定理。

娘:c^2 = 1^2 + 1^2 - 2 cos45°。cos45°は1/√2だから、c^2 = 2 - 2/√2で、= 2 - √2。c = √(2 - √2)。 円周率は、8*c / 2だから 4(√(2 - √2))

父:さて、これが3.05よりでかいかどうか。

(注:3.05 < 4 * √(2 - √2)が示せればよい)

----ここで昼ご飯に入るので、紙と鉛筆は脇に置かれる。ここから先はすべて二人の会話と頭の中だけで----

父:√2は、1.4……

娘:(2 - √2 = )0.6。0.6のルートは……

父:0.64のルートは0.8。4 * 0.8 = 3.2。3.05よりはでかい。0.49のルートは0.7。4 * 0.7 = 2.8。3.05よりは小さい。微妙だね〜 やっぱりもうちょっと正確に計算しないと。

娘:2乗してみる。

(つまり、3.05^2 < (4 * √(2 - √2))^2 = 16 * (2 - √2) が証明できればよい)

父:2乗してみるか。3.05の2乗は……

娘:計算できない……

父:3 * 3 = 9。 2 * 3 * 0.05 =0.3。0.05の2乗は誤差?

(注:(3 + 0.05)^2 = 3^2 + 2 * 3 * 0.05 + 0.05^2に展開している)

娘:9.32くらいか。

(注:0.05の2乗を0.025と間違えている。正確には0.0025なので、9.3025。この時点で父気づかず(というか3項目は小さすぎてどうでもよいと思っているので注意力散漫になっている)だが、結果にはあまり影響はしていない。しかしこの娘、よく会話についてくるな)

父:次は16(2-√2)。√2は、1.414。

娘:16 * 0.586…… 計算できない。

父:2を4回掛ける。

娘:1.172。2.344。4.688。9.376。

父:さっきのいくつやっけ。

娘:えーとなー、9.32。9.376の方が大きいわ。

父:証明終わり。

いやいや、なかなかの娘だと感心しました。


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